傅立叶变换，是OFDM调制解调系统变得简单的基石，也是从事通信信号处理工作的普通码农能够真正进入通信王国的便捷之门。理解了傅立叶变换，也就理解了各类信号的本质。工作以后，想写一篇关于傅立叶变换的文章已经很久。
我们先来看看简单的正交调制。基带I、Q两路信号，经过数模转换，与载波相乘，然后正交两路信号相加，经过带通滤波器，再经过放大后发送出去。这是通用的正交调制模型。任何信号，都可以经过正交化后，采用这种模型进行发射。
我们来看一个具体的信号，DQPSK信号，上层躺在内存里的数据，以上层内容看是byte，在基带来看就是一串0、1比特流，经串并转换后，两个比特为一组，因为调制系统有相位模情况（即一个正弦波调制的时候是不知它的起始相位是在0，还是在180度位置，也称为倒PI现象），所以还要经过一个差分编码，消除相位模糊的影响。然后，每一组映射为一个调制的复数星图点，一个比特映射到I路，另一个比特映射到Q路，映射的规则0为+1，1为-1，这个时候，基带信号每一路信号就成为矩形波，它的频谱成份很宽，如果直接发射出去，会造成严重的码间干扰，所以要进行带限，常用的就是平方根滤波器，或者根升余弦滤波器，将频谱限制在一定的频带内。滤波后的信号很光滑，看上去很美。事实上，通信系统，节点上的信号都是很美的，比如星座图，如果一个信号看上去很丑，那很可能传输过程发生了畸变。将滤波后的基带信号，经数模转换后，分别与正交载波相乘，再相加就得到了射频发射出去的信号。
假如DA后的I路信号为I(t)，Q路为Q(t)，则有发射的信号为：
F(t)= I(t) _cos(w_t)- Q(t) _sin(w_t)
式中w为载波角频率。
在接收端，将接收信号经过低噪放和带通滤波器后，分别进入I路和Q路进行处理。I路与cos(w _t)进行相乘后滤波，得到I(t)；Q路与sin(w_t)相乘后进行滤波，得到Q(t)，然后再进行DA采样，得到基带数字信号。至于为什么相乘后滤波得到I(t)和Q(t)信号，原理很简单，就是简单的三角函数运算，感兴趣的可以自己推导。
上述调制可以换成16QAM，64QAM，256QAM等，过程都大同小异，只不过是要将几位比特映射为一个调制符号。比如16QAM，将4位比特映射为一个星图调制符号，64QAM将6位比特映射为一个星图调制符号，256QAM将8位比特映射为一个星图调制符号。只要技术足够强，还可以更高阶调制下去。有朋友会问题，为什么整那高调制，有啥用？如果采用相同的符号速率发送信号，即一个星图符号在时间上占据的时长是一定的，那么接收解调时，解调一个QPSK符号，就得到2比特数据，解调一个256QAM符号，就得到8比特数据，速率是不是变提高了？
好了，到此为止，我们已经对简单的基带IQ调制解调有了基本的了解。我们来看看OFDM是怎么回事。
大多数介绍OFDM调制的文章，一上来就是IFFT变换，实现OFDM调制，很少给出为什么IFFT变换后，就已经实现基带的OFDM调制。OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing），中文名叫正交频分复用，那个O，就是正交的意思。啥叫正交？似乎《矩阵原理》、《电磁场与电磁波》、《高等数学》都有过定义。为便于理解，就不从向量角度展开了，因为我们都是跟通信载波打交道的，直接理解为一组以某个基准频率（子载波间隔）倍数为变量的三角函数集成员两两正交，也就是此时任意两个三角函数在基准频率周期内积分为0。
我们先从多载波架构看起。将多个单载波正交调制信号，组到一起再发射出去，每个正交载波都是w的整数倍。正交调制信号s(t)= I(t) _cos(w_t)- Q(t) _sin(w_t)，采用复指数可以表示为
令I(t)=a,Q(t)=b, 于是有
以k下标，基波为w0，将多路信号加在一起有，
上式可简写为
对信号进行采样离散化，采样时钟为Ts，对应的采样频率Fs=1/Ts，角频率w0对应的基频率为F0，并令采样频率等于Fs=N*F0，于是有
我们发现对上式取实部里面的运算式除以N实现各组调制功率平均化，刚好就是离散傅立叶变换，于是很多教科书来一句OFDM调制是上式的等效复数表达式就完事了，然后就心安理得的用一个IFFT变换完成OFDM调制。这是相当不负责任的。为了搞明白这其中的逻辑关系，当年翻了不少资料。
我们来看看离散IFFT变换表达试，是有实部和虚部的，也即，真实从射频发射出去的信号，是包括实部和虚部的，当然，说虚部感觉不好理解，直接说有两路实信号就好理解了。做射频AD、DA的小伙伴知道，底层才不管你什么实部虚部，就是把你当做多个通道的采样，上层怎么看待数据，是上层运算的事，而复数运算的本质，只不过是一个两维数据的实数运算。
好了，我们发现
也就是说，如果我们把x(n)的实部和虚部都发射出去，那么接收端接收到实部和虚部后，做一个FFT运算，就可以解调出x(n)。而发射实部和虚部，不正是一组正交调制吗？于是，一个完整的OFDM采用多路正交载波合成的架构，应当如下框图所示。也即，OFDM调制本质上，是两级正交调制，第一级正交调制，是以子载波间隔倍数为载波的多路正交调制信号之和，然后分别取实部和虚部做为第二级正交调制的I路和Q路，输入到射频载波的IQ两路正交调制。在接收端IQ两路只要经过相干接收，再经过低通滤波器，就可以得到第二级射频载波的I、Q两路信号，然后再做一个ＦＦＴ运算，就可以恢复出基带多路的正交子载波IQ数据，也即每一个复数星图点上的数据。
回过头看看，从多路正交信号的复指数级数形式，得到ＩＦＦＴ变换形式，两个要素千万要记住：第一，采样时长等于子载波间隔的倒数，即OFDM符号的长度等于基频率的周期；第二，采用两级正交调制形式，第一级正交调制之和的实部和虚部分别以实数形式进入第二级正交调制的IQ两路。
OFDM有许多有趣的性质。从上图中的频谱图可以看出，每一个子载波调制，虽然频谱上除了自己位置能量很高，其它位置也拖着双头尾巴，但奇妙之处在于，在其它子载波位置上，尾巴的能量值为0。曾经有一次，射频的同事来问我一个问题，他们发现，在OFDM频谱边带附近，叠加一个正弦波，竟然可以影响到频谱边的EVM，而更为神奇的是，如果不断的改变正弦波频率大小，慢慢远离OFDM边带，则会发现在这程中EVM是一直差的，直到远离到某个点，EVM却变好，然后，再远离再变差，然后又遇到某个点ＥＶＭ又变好，聪明的你，猜到是什么原因了吗？另外为什么ＯＦＤＭ采样频率不需要带宽的２倍呢？
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参考：《深入浅出通信原理》
Original: https://blog.csdn.net/guet208/article/details/109758922
Author: guet208
Title: 5GNR漫谈15：OFDM与IFFT
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