前言
最小二乘法Least Square Method，做为分类回归算法的基础，有着悠久的历史（由马里·勒让德于1806年提出）。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
下面这篇文章主要跟大家介绍了关于python中matplotlib实现最小二乘法拟合的相关内容，下面话不多说，来一起看看详细的介绍：
一、最小二乘法拟合直线
1、拟合直线
生成样本点
首先，我们在直线 y = 3 + 5x 附近生成服从正态分布的随机点，作为拟合直线的样本点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.arange(0, 5, 0.1)
Z = [3 + 5 * x for x in X]
Y = [np.random.normal(z, 0.5) for z in Z]
plt.plot(X, Y, 'ro')
plt.show()
样本点如图所示：
拟合直线
设 y = a0 + a1*x，我们利用最小二乘法的正则方程组来求解未知系数 a0 与 a1。
numpy 的 linalg 模块中有一个 solve 函数，它可以根据方程组的系数矩阵和方程右端构成的向量来求解未知量。
def linear_regression(x, y):
N = len(x)
sumx = sum(x)
sumy = sum(y)
sumx2 = sum(x**2)
sumxy = sum(x*y)
A = np.mat([[N, sumx], [sumx, sumx2]])
b = np.array([sumy, sumxy])
return np.linalg.solve(A, b)
a0, a1 = linear_regression(X, Y)
绘制直线
此时，我们已经得到了拟合后的直线方程系数 a0 和 a1。接下来，我们绘制出这条直线，并与样本点做对比。
_X = [0, 5]
_Y = [a0 + a1 * x for x in _X]
plt.plot(X, Y, 'ro', _X, _Y, 'b', linewidth=2)
plt.title("y = {} + {}x".format(a0, a1))
plt.show()
拟合效果如下：
2、最小二乘法拟合曲线
生成样本点
与生成直线样本点相同，我们在曲线 y = 2 + 3x + 4x^2 附近生成服从正态分布的随机点，作为拟合曲线的样本点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.arange(0, 5, 0.1)
Z = [2 + 3 * x + 4 * x ** 2 for x in X]
Y = np.array([np.random.normal(z,3) for z in Z])
plt.plot(X, Y, 'ro')
plt.show()
样本点如图所示：
拟合曲线
设该曲线的方程为 y = a0 + a1 _x + a2_x^2，同样，我们通过正则方程组来求解未知量 a0、a1 和 a2。
def quadratic_fitting(X, Y, m):
N = len(X)
A = []
b = []
for i in range(m+1):
b.append(sum(X ** i * Y))
a = []
for j in range(m+1):
a.append(sum(X ** (i + j)))
A.append(a)
return np.linalg.solve(A, b)
a0, a1, a2 = quadratic_fitting(X, Y, 2)
绘制曲线
绘制曲线
我们根据求得的曲线方程，绘制出曲线的图像。
_X = np.arange(0, 5, 0.1)
_Y = np.array([a0 + a1*x + a2*x**2 for x in _X])
plt.plot(X, Y, 'ro', _X, _Y, 'b', linewidth=2)
plt.title("y = {} + {}x + {}$x^2$ ".format(a0, a1, a2))
plt.show()
拟合效果如下：
我们根据求得的曲线方程，绘制出曲线的图像。
3、完成代码
def Lleast_squares_fitting():
pass
def cubic_polynomial():
pass
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def linear_fitting(x, y):
N = len(x)
sumx = sum(x)
sumy = sum(y)
sumx2 = sum(x ** 2)
sumxy = sum(x * y)
A = np.mat([[N, sumx], [sumx, sumx2]])
b = np.array([sumy, sumxy])
return np.linalg.solve(A, b)
def line_polynomial():
X = np.arange(0, 5, 0.1)
Z = [3 + 5 * x for x in X]
Y = [np.random.normal(z, 0.5) for z in Z]
a0, a1 = linear_fitting(X, Y)
_X = [0, 5]
_Y = [a0 + a1 * x for x in _X]
plt.plot(X, Y, 'ro', _X, _Y, 'b', linewidth=2)
plt.title("y = {} + {}x".format(a0, a1))
def quadratic_fitting(X, Y, m):
N = len(X)
A = []
b = []
for i in range(m+1):
b.append(sum(X ** i * Y))
a = []
for j in range(m+1):
a.append(sum(X ** (i + j)))
A.append(a)
return np.linalg.solve(A, b)
def quadratic_polynomial():
X = np.arange(0, 5, 0.1)
Z = [2 + 3 * x + 4 * x ** 2 for x in X]
Y = np.array([np.random.normal(z, 3) for z in Z])
a0, a1, a2 = quadratic_fitting(X, Y, 2)
_X = np.arange(0, 5, 0.1)
_Y = np.array([a0 + a1 * x + a2 * x ** 2 for x in _X])
plt.plot(X, Y, 'ro', _X, _Y, 'b', linewidth=2)
plt.title("y = {} + {}x + {}$x^2$ ".format(a0, a1, a2))
if __name__ == '__main__':
quadratic_polynomial()
plt.show()
Original: https://blog.csdn.net/weixin_45414444/article/details/120311747
Author: cyb_cqu
Title: python中matplotlib实现最小二乘法拟合的过程详解
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画点：
cv2.circle(img, 点坐标, 点大小, 颜色, 边框线条大小)
画圆：
cv2.circle(img, 圆心坐标, 半径, 颜色, 边框线条大小)
画线：
cv2.line(img, (起始坐标), (结束坐标), color=(255, 0, 0), thickness=边框线条大小)
画多边形：如三角形
cv2.line(img, (200, 200), (200, 300), color=(255, 0, 255), thickness=2)
cv2.line(img, (200, 300), (300, 300), color=(255, 0, 255), thickness=2)
cv2.line(img, (300, 300), (200, 200), color=(255, 0, 255), thickness=2)
画矩形：
cv2.rectangle(img, (左上角), (右下角), color=(0, 0, 255), thickness=2)
源码：
import cv2.cv2 as cv2
img = cv2.imread(r"a.png")
point_size = 1
point_color = (0, 0, 255)
thickness = 2
point = (100, 50)
cv2.circle(img, point, point_size, point_color, thickness)
circle_point = (100, 100)
cv2.circle(img, circle_point, 20, point_color, thickness)
cv2.line(img, (0, 0), (100, 100), color=(255, 0, 0), thickness=2)
cv2.line(img, (200, 200), (200, 300), color=(255, 0, 255), thickness=2)
cv2.line(img, (200, 300), (300, 300), color=(255, 0, 255), thickness=2)
cv2.line(img, (300, 300), (200, 200), color=(255, 0, 255), thickness=2)
cv2.rectangle(img, (715, 415), (830, 600), color=(0, 0, 255), thickness=2)
cv2.imshow("img", img)
cv2.imwrite("label_data.png", img)
cv2.waitKey(4000)
cv2.destroyAllWindows()
运行结果：
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Original: https://blog.csdn.net/hzblucky1314/article/details/123896460
Author: 玩转测试开发
Title: Python：opencv画点、圆、线、多边形、矩形
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