【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

大家好!

动态规划题目是总结的比较完整了。下面是自从和大家刷开题总结的动态规划解题方法。

https://mp.weixin.qq.com/s/ZqOWomyra90BRzNukHr3-Q

https://mp.weixin.qq.com/s/Adca02TemBHNfnjukmpiuw

https://mp.weixin.qq.com/s/1aCesjtqK02eMn6aLPR7dw

今年全国夏天雨是真的多,突然想到今年北京的夏天也不像往年那么热。不知不觉就稳稳地度过了夏天来到秋天。

恰巧前几天有一个粉丝问到了我,网上接雨水的解决总是感觉有点混乱,能不能用动态规划解决。

今早北京大雨,借用大雨的感受,想了想接雨水问题,依然用长图一步一步说明!

背景

先来看看题目,这个题目应该是很多人都已经遇到过了,因为它的题号是42,属于一个比较非常靠前的题目。

同时也属于一个非常经典的算法问题。

咱们今天的题目解决不做暴力法、也不做双指针,就用动态规划很清晰的进行说明。

看下图,12根柱子的围栏,接了6个单位的雨水。

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

从上图很显然能看到一点:

如果想要接住雨水。那么,决定雨量的多少在于「左边的柱子高度」、「右边的柱子高度」以及「自身柱子的高度」。

比如说,中间第 5 格雨水量为2,就是决定于左右侧柱子的较小值-本身柱子高度(0)而得到的。

注意:左右侧的高度,指的是能围住雨水的柱子,而不是紧挨着的左右侧的柱子。

左侧最高柱子:2

右侧最高柱子:3

自身柱子高度:0

雨水量 = min(左侧最高柱子, 右侧最高柱子) – 自身柱子高度 = 2

因此,需要定义两个数组,分别来存放相对于当前位置左侧和右侧柱子的最大高度。

最后,取左右侧柱子最小值-自身柱子高度=雨水量。

思路

就用leetcode官方给的案例来进行一步一步解决。

柱子高度为:height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1],再把图拿过来!

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

现在,定义两个数组,分别命名为 left_max_heightright_max_height,存放相对于当前位置左侧和右侧柱子的最大高度。

先来定义第一个数组left_max_height,存放左侧最高柱子高度:

初始化:(因为左侧没有柱子,所以位置 0 左侧最大高度为 0)

left_max_height[0] = 0

动态方程:

left_max_height[i]=max(height[i-1], left_max_height[i-1])

下面还是用长图一步一步来进行说明:【点击高清显示】

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

下面开始定义第二个数组,存放右侧最高柱子高度。右侧最高度从最右侧开始进行计算。

初始化:(因为最后一个位置由侧没有柱子,所以位置 11 右侧最大高度为 0)

right_max_height[11] = 0

动态方程:

right_max_height[j]=max(height[j+1], right_max_height[j+1])

还是用长图一步一步来进行说明:【点击高清显示】

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

现在,当前位置的左侧和右侧柱子的最大高度数组计算完成后,下面就计算接水量。

雨水量 = min(左侧最高柱子, 右侧最高柱子) – 自身柱子高度 = 2

准备好三个数组:

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

上图中,height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1],为了看起来清晰,可以参考最开始图示。

最大单位水量=左右取最小值-本身的高度

计算方式:

water=min(left_max_height[i], right_max_height[i])-height[i])
max_water=water>=0?water:0
【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

上述需要注意一点,如果左右取最小值-本身的高度<0,说明当前本身柱子是凸出来左右侧最高值的,比如说位置 1:

【完虐算法系列】动态规划解决《接雨水》问题

所以说,位置 1 的计算结果为负数,需要强制转为 0。

代码

class Solution(object):
    def trap(self, height):
        size = len(height)
        # 小于等于 2 的时候,是接不住雨水的
        if size <= 2:
            return 0
        # 左边相对于当前位置的最大高度
        left_max_height = [0 for _ in range(size)]
        # 右边相对于当前位置的最大高度
        right_max_height = [0 for _ in range(size)]
        # 当前位置接雨水最大高度
        max_water = [0 for _ in range(size)]

        # 初始化 left_max_height, 第 0 个位置初始化为 0
        for i in range(1, size):
            left_max_height[i] = max(height[i-1], left_max_height[i-1])

        # 初始化 right_max_height, 第 size-1 个位置初始化为 0
        for j in range(1, size):
            right_max_height[size-j-1] = max(height[size-j], right_max_height[size-j])

        # 最大水量
        for k in range(1, size):
            max_water[k] = (min(left_max_height[k], right_max_height[k])-height[k] if min(left_max_height[k], right_max_height[k])-height[k]>=0 else 0)

        # 累计求单位水量
        waters = 0
        for z in range(1, size):
            waters += max_water[z]
        return waters

if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.trap([0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]))

这个题目总体来说,使用动态规划还是不容易想到的。尤其是上面两个数组使用了两次动态规划的过程。

接雨水问题还可以使用暴力解法和双指针解决,双指针可以试试,至于暴力。。心里有就好了哈哈。。

多余的一句

边工作边带大家刷题确实是有点慢了,很抱歉!

不过,一定会坚持下去,也一定会把 LeetCode 各类型题目进行详细总结,做到大家想查看的时候随时能查到详细 LeetCode 资料的地方。

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